5位数学家不只解决了一个高维几何中的难点，而且让数学界首次看到了这类神秘的高维几何对象可能长什么样子。虽然这类形状比较容易概念，但却出奇地神秘。目前，研究职员终于可以进入几何宇宙中过去完全没办法接近的一角。

撰文 | 嘉伟

不了解大伙是不是见过三角形轮子的自行车。是的，骑起来挺平稳，不会颠簸。

工程师Sergii Gordieiev创造的三角车轮自行车

把一个圆放在两条平行线中间，使之与这两条平行线维持相切。那样无论大家怎么样转动这个圆，这两条平行线的距离一直不变。大家管这一性质叫定宽性。

然而，圆不是平面上唯一的定宽曲线。若以一个正三角形的三个顶点作为圆心，以边长作为半径，则包裹住正三角形的三段圆弧围成的图形，就是一条非圆定宽曲线。事实上，它是除圆以外最简单和最著名的定宽曲线：Reuleaux三角形。

架构Reuleaux三角形

由于它的宽度是恒定的，所以Reuleaux三角形是“除去圆以外，还可以制作什么形状的井盖”这个问题的一个答案。有兴趣的朋友可以尝试验证一下它的定宽性质。

上面动图里的自行车，其汽车轮胎的形状正是Reuleaux三角形。定宽性可使自行车平稳行驶，但因为工程和力学上的现实缘由，Reuleaux三角形的汽车轮胎现在并无实用性。不过，这并不意味着Reuleaux三角形仅能充当短视频里的噱头——后文大家会介绍它在工业上的各种应用——它也是数学里要紧的研究对象。

但最让人尴尬的一点反而是，历史上对Reuleaux三角形和其它定宽曲线研究得越透彻，就愈发彰显大家对三维，与更高维度欧式空间里的定宽几何体所知的匮乏。

耶路撒冷希伯来大学的数学荣誉教授Gil Kalai是当代组合学范围的领导者之一。他十多年前曾在数学社区MathOverflow上评论道：“恒定宽度的集合（球除外）没幸运地被选作Banach空间的范数，没办法吸引强大的Banach空间理论的专家来研究它们在大维度下的渐近特质。”所以，数学界把高维空间定宽几何研究打入了冷宫。但他随后笔锋一转：“……但它们（高维定宽几何体）很让人开心，这看着是一个很基本的问题。”

此处“很基本的问题”特指Oded Schramm（Kalai教授过去的学生）于1988年在普林斯顿大学读博期间提出的、看上去非常简单的问题：大家能在任何维度上架构一个比球小指数级的定宽几何体吗？

这个很基本的问题，困惑了数学界长达30多年。直到今年5月，5名研究职员报告说，答案是一定的。

他们不只解决了一个高维几何中的难点，而且让数学界首次看到了这类神秘的高维几何对象可能长什么样子。虽然这类形状比较容易概念，但却出奇地神秘。目前，研究职员终于可以进入几何宇宙中过去完全没办法接近的一角。

从二维到三维，与更高的维度

概念三维空间里的定宽几何对象（后文简称为定宽体）的方法，与前面概念定宽曲线的方法类似。只是曲线是夹在两条平行线之间，而立体对象要夹在两个平行的平面之间。假如该立体对象无论如何运动，都不会改变平行平面的距离，那大家就称其为三维定宽体。

类似地，可以概念一般n维空间里的定宽体。只是要把平面换成n-1维的超平面。

三维空间里的球体，n维空间里半径为1的n维单位球（记为Bn），都是最易想到的定宽体。但，球是不是就是唯一一类定宽体呢？

历史上的数学家也想弄清这个问题。他们仿造前面架构Reuleaux三角形的方法，在三维空间里架构了Reuleaux四面体。思路就是以正四面体各顶点为圆心，以边长为半径，架构四个球壳。被四个球壳彼此分割的球面包裹住的空间，就是Reuleaux四面体。

刚开始，大家猜测Reuleaux四面体是三维空间里的非球定宽体。但非常遗憾，它并非。大伙可以试着计算一下，验证这一点。

Reuleaux四面体

好消息是，可以通过局部“手术”，把它改导致定宽体！所以目前大家有了第一种非球形的三维定宽体——Meissner体。

想来读者朋友也注意到了，在三维空间中架构定宽体已然颇为不容易，升至更高维的空间中，困难程度超乎想象。更何况，为知道答Schramm提出的难点，还需要保证：

对某个小于1的正数q，当n足够大时，一直存在宽度为2的n维定宽体Kn，其体积V（Kn）＜q^n·V（Bn）。其中V（*）表示对象*的体积。

数学家想不出怎么样直接架构出高维定宽体，所以只能依靠既有些经验。仿照二维和三维成功路径，从一组点开始（称之为“种子”），然后以每一个种子为圆心作一个高维球面。探寻能被所有球面包裹的对象，看看它是不是具备恒定宽度。

但在高维世界里，要弄了解种子的子集能带来的形状，是很不简单的工作。

4位乌克兰的数学家Andrii Arman、Andriy Bondarenko、Danylo Radchenko和Andriy Primak对不一样的种子进行了实验，最后试出了一条特定曲面。他们了解曲面划出了一个地区，其中包括一个足够小的定宽体。但他们想知道该定宽体到底是什么样子。

在他们追寻答案时，Arman看到了MathOverflow上2022年的一则帖子，进而结识了肯特州立大学的Fedor Nazarov。后者一直在独立研究Schramm的问题，他的办法看着与乌克兰团队的办法很相似，尽管他也陷入了困境。乌克兰团队邀请他加入他们。就在那时， Nazarov意识到了别的人错过的东西：他们的种子赋予的形状不单纯是包括了一个定宽体，它本身就是定宽体！

从左至右: Andrii Arman, Andriy Bondarenko and Danylo Radchenko, Fedor Nazarov, and Andriy Primak. |图源：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, Andriy Prymak, and Danylo Radchenko Constructed Small Volume Bodies of Constant Width | Combinatorics and more (wordpress.com)

在那个尤里卡时刻，问题全都迎刃而解。他们的工作指出，对任意足够大的维度n，都存在一个宽度为2的定宽体Kn，满足V（Kn）＜0.9^n·V（Bn）。

Arman说，尽管结论背后有着复杂的思路，但他们的架构是本科生就足以验证的。事实上，他们的论文仅有7页（见参考[6]），而且没给出架构几何体的3D图示。在一篇几何学论文里，没几何对象的图示，甚至引起了不少数学家的吐槽。

卡内基梅隆大学的数字几何学家、计算机科学与机器人学副教授Keenan Crane按论文里的办法制作了3维定宽体的图像，并特意指出，由于原始论文居然没配图，所以自己动手制作了一个。

3维空间中体积小于球体的定宽体。丨图源：卡内基梅隆大学数字几何学家、计算机科学与机器人学副教授Keenan Crane

回到二维

虽然Arman等人的工作揭示了一般n维空间里定宽体的渐进特质，但现在实质上还处于“皮毛”阶段。和二维定宽曲线相比，大家对高维定宽体的各种细节还知之甚少。

除去之前介绍过的Reuleaux三角形，还存在很多的定宽曲线。事实上，大家可以从数学上证明，每个奇数条边的正多边形都可以借用画圆弧的办法生成一条定宽曲线。此类定宽曲线就叫做Reuleaux多边形。Reuleaux三角形就是其中最简单的Reuleaux多边形。

但，Reuleaux多边形的边缘都是圆弧，那是不是存在边缘不是圆弧的定宽曲线呢？

答案是一定的。

大家有非圆弧拼接，愈加光滑的代数定宽曲线。比如，下面的多项式的零点形成一条宽度恒定的非圆平滑代数曲线：

曲线的次数为8，这是概念定宽非圆曲线的多项式的最小可能次数。

对于所有定宽曲线，有Barbier定理：定宽曲线的周长πw（w就是那个恒定的宽度），无论其形状怎么样。

除此之外，尤为重要的Blaschke-Lebesgue定理指出，Reuleaux三角形在同宽度的所有定宽曲线中具备最小的面积。不少数学家都想找到三维里体积最小的定宽体，但到今天徒劳无功。

Arman的5人团队在解答了Schramm问题后，近期几个月里就在研究上面的问题。但由于毫无结果，不久前宣布舍弃追逐，回到他们早年的研究工作之中。

Reuleaux三角形的历史和应用

大家毕竟是生活在三维世界里，高维几何学的前沿研究总是对现实生活影响有限。依据Arman的说法，在更高的维度上，他们发现的定宽体可能能够帮助开发用于剖析高维数据集的机器学习技巧。

但，Reuleaux三角形则是确凿无疑地早已被应用于各种生活和工业场景中。19世纪的德国工程师Franz Reuleaux是研究将一种运动转换为另一种运动的机械的先驱。他在设计中用了Reuleaux三角形。这就是其名字的起源。但它的历史可追溯得愈加久远。

Reuleaux三角形的早期应用来自达·芬奇于1514年左右绘制的世界地图，其中地球的球面被分成八片，每片都被压成一个Reuleaux三角形的形状。

达·芬奇于1514年左右绘制的世界地图 | 图源：Reuleaux triangle – Wikipedia

不过第一个意识到定宽曲线的存在、并察看到Reuleaux三角形具备定宽性质的人可能是欧拉（Leonhard Euler）。在他于1771年发表并于1781年重新整理发表的题为De curvis triangularibus的论文中，欧拉研究了曲线三角形与他称之为类圆的定宽曲线。

Reuleaux三角形和其它定宽曲线的存在表明，仅靠直径测量没办法验证物体是不是具备圆形横截面。

1986 年，“挑战者”号航天飞机在升空73秒后爆炸，著名物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）被请来调查事故缘由。他后来证明，本来用于连接航天飞机固体火箭助推器部分的“O形圈”密封件因为低温而失效，导致了灾难性的后果。但他也发现了不少别的问题。其中就包含NASA测量O形圈形状的方法。在飞行前测试期间，工程师反复测量了密封件的宽度，以验证它们没变形。

费曼后来写道，由于存在定宽曲线，这类测量是无用的。

虽然它们给圆截面测量带来了隐患，但定宽曲线的形状也带来了很有用的性质。现在有几个种类的机械使用Reuleaux三角形的形状，基于其可以在正方形内旋转的特质。

Reuleaux三角形在一个正方形内滚动，同时一直接触所有四个边。

Watts Brothers Tool Works的方形钻头具备Reuleaux三角形的形状，经过凹面修饰以形成切割表面。当安装在允许钻头没固定旋转中心的特殊卡盘中时，它可以钻出一个近乎方形的孔。

德国工程师Felix Wankel借用Reuleaux三角形设计了一种使用偏心旋转，将重压转化为旋转运动的内燃机。

Wankel KKM发动机的冲程循环

大约50年前，马自达的工程师成功地将Wankel的转子发动机商业化。转子发动机因其比传统活塞发动机更小、更轻，且具备优越的功率重量比而闻名。与传统发动机不同，转子发动机没往复运动的部件。它用一个在壳体内旋转的三角形转子，使其运行更安静、更平稳。这种设计还允许在给定排量下达成出色的性能。

尽管最后一款用13B转子发动机的车型RX-8在2012年停产，马自达仍继续生产转子发动机及其零部件，维持着转子发动机的传统。

苏联Luch-2基于Reuleaux三角形的8毫米胶片放映机中的进片机构。丨图源：Reuleaux triangle - Wikipedia

Reuleaux三角形的其它应用包含吉他拨片、消防栓防篡改螺母、铅笔形状的设计等等。

开始的尾声

前文提及， 5人团队在解决了Schramm问题后，就转向了离散几何的其它范围。但他们留下了一个新的高维几何世界供别的人探索。

2008年，Schramm在很多不一样的数学范围获得了重大进展后，却在一次徒步旅游事故中丧生。作为他过去的老师，Kalai教授非常高兴看至今的研究者继承并延续了Schramm的学术遗产，结出丰硕的果实。

他说，以前在更高的维度中，大家都觉得定宽体应表现得像球，至少在体积特质方面是如此。但“事实并不是这样。所以这意味着高维几何体的理论很丰富。”

2010年，Gil Kalai在MathOverflow上发帖，期望让更多数学家去关注那个“很基本的问题”——Schramm问题。

在今年5月最后的一天，Kalai在这尘封已久的帖子下回复自己道：“问题已获解决。”

致谢：感谢美国加州理工学院数学系倪忆教授对本文的审核和修订。

参考资源

[1] Curve of constant width - Wikipedia

[2] Reuleaux triangle - Wikipedia

[3] mg.metric geometry - Volumes of sets of constant width in high dimnsions - MathOverflow

[4] Mathematicians Discover New Shapes to Solve Decades-Old Geometry Problem | Quanta Magazine

[5] Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, Andriy Prymak, and Danylo Radchenko Constructed Small Volume Bodies of Constant Width | Combinatorics and more (wordpress.com)

[6] [2405.18501] Small volume bodies of constant width (arxiv.org)

[7] Wankel engine - Wikipedia

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Tags：数学