部分研究生不大会自己找题目做研究，而是“等米下锅”。美国南密西西比大学习数学系教授丁玖回忆了自己求学和论文选题、写作的特别历程。

撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学习数学系教授）

新冠肺炎疫情爆发前，我回国学术访问、与教授们交流时，他们提到，部分研究生不大会自己找题目做研究，而是像课堂考试等发试题那样，等导师指定一个研究论题。“嗟来之食”总没自助餐吃得舒畅。大家都了解，农家自由放养的草鸡味美汁鲜，远非集体圈养的肉鸡可比。盖因肉鸡饭来张口，菜谱单调；而草鸡到处觅食，营养丰富。草鸡的市场价钱，也因此比肉鸡贵很多。我小时候住在爸爸妈妈的学校教工宿舍，下雨前最爱在操场上，用大扫帚拍捉矮飞的蜻蜓来喂鸡，由于它们给大家下蛋吃呢。就像读书时，视线不应囿于教科书的方寸纸页，选择学位论文研究课题时，也最好能处处注意，主动出击。就我而言，博士论文的选题虽然出于偶然得之，事先可能连导师李天岩（1945-2020）教授也没想到，却是“到处留神皆学问”的结果。其实，我赴美后写的第一篇研究文章，是得益于我南大老同学魏木生博士的先驱性工作，而与导师涉足的几个范围无关。虽然它未被放入我的博士论文，其诞生机缘却与后来的学位论文有异曲同工之处。

为准确起见，本文将引进一些数学定义。我将用初等或几何语言，与比喻类比，来描述定义，即使读者不全懂数学内涵也无妨。性急的读者不必望而生畏而降低继续读下去的劲头，期望所讲故事的戏剧性和启发性燃起他们更大的阅读火苗。

“找米下锅”

我读博阶段的第一项研究，是关于亏秩矩阵最小二乘解的摄动理论。最小二乘法祖师爷之一高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）早在十八岁时就已萌生出该法的思想。作为哥廷根大学天文台台长的他，在研究天文观测数据时创造了最小二乘法。这在几何上与平面上给定试验数据点的曲线拟合有关。譬如说，设想在直角坐标平面上有十个点，可以看成是某个试验结果的十组数据。它们一般不会恰巧沿着一条直线排列。但，大家能否画出一条直线，使得它和这类点的“垂直距离”的平方之和最小？这就是“最小二乘问题”的简单一例。它的答案是一定的，其解法就是“最小二乘法”。最小二乘问题由一个矩阵确定，它是排成几行几列的一组数字。对于“满秩”矩阵（即矩阵的“秩”等于行和列数之较小值），最小二乘的理论与算法已非常成熟，构成了计算数学子学科数值线性代数的一部分。

我的大学同学魏木生，在七七级江苏高考考试中数学全省第一——正题及附加题皆为满分，本科毕业后公费去了美国布朗大学留学，1986年获博士学位。他的博士论文是关于散射波计算，这需要考虑最小二乘问题。但此时矩阵不再是满秩的，而是“亏秩”的，即矩阵之秩小于矩阵的行和列数。他在文献中找不到现成的亏秩问题摄动理论可供参考。有次在学术会议上，魏木生遇见数值代数大人物、美国科学院与工程院双院士、斯坦福大学计算机科学系的高露博（Gene Howard Golub，1932-2007）教授，便向他求教。他们的回答让他相当惊讶：还没人认真研究过此类问题。于是魏木生决定，自己动手打下这个新范围的第一根桩。1989年，他关于亏秩矩阵最小二乘摄动理论的首篇论文刊登于期刊《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications）。

1986-87学年，魏木生在明尼苏达大学习数学及其应用研究所做博士后。1987年秋，魏木生来我读博的密歇根州立大学习数学系，继续他的博士后研究。李天岩教授在六七个申请者中挑选了他，由于柯朗数学科学研究所的大数学家拉克斯（Peter Lax, 1926-）教授写了一封有力的推荐信。能让拉克斯提笔写信的人，当然绝不是等闲之辈。的确，魏木生之所以得此殊荣，是由于他在博士论文中，推翻了拉克斯散射波理论专著的一个看法。整整一学年，大家两个老同学常常偕家人驱车去购物，一同度过了很多愉快的时光。就在那个秋学季，我拜读了魏木生写的几篇文章，感觉很有意思。

魏木生博士的开创性工作，本质上是通过估计亏秩最小二乘问题摄动解的误差上界，论证了一般最小二乘解的“上半连续性”。自然界很多现象都是连续的，譬如水是连续流动的。“解的连续性”大概是说，当所解问题的数据稍有变化时，解的变化也不大。为了可以应用矩阵论中著名的“奇异值分解定理”，他不能不用以一百年前德国数学家弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Georg Frobenius，1849-1917）名字命名的一种矩阵范数。这个范数是把m行、n列矩阵的所有元素排成有mn个分量的向量，再计算出该向量的欧几里得范数（即所有分量平方求和，再开平方根）。读毕全文，一股强烈感受非常快涌上我的心头：文章结论自然漂亮，数学剖析也非常精辟，但用这个范数，总不及最小二乘问题本身概念所使用的向量欧几里得范数来得自然。于是我主动出击，集中精力苦苦思索，不久就有了头绪，只用欧几里得范数，获得了一个较为简洁的摄动界。

由于这是我来美后写成的第一篇文章，完稿时我颇有点小激动。我的硕士论文从未投稿以求发表，一方面由于当时太太怀孕，我当然要尽点责任，加上后来又忙于出国留学，无暇整理；其次我早已对那个工作不再重视，盖因来美后发现，国际上基于三角剖分的单纯不动点算法研究已趋沉寂，不像七十年代到八十年代初那样红火。而基于微分拓扑思想的现代同伦算法，生命力却一直旺盛。我几个师兄弟的博士论文，都与这个办法密切有关。我后来也将同伦延拓法的思想用于最佳化的研究。

开心之余，我将文章初稿寄给了当时远在日本京都大学数理分析研究所担任讲坛教授的导师李天岩，请他提建议。李天岩教授非常快回函，在三页长信中对我文章的主要定理发表了具体建议，并在有关念书研究的办法论上，给予了启迪心智的评述。平常不大当面表彰学生的他，这次却满腔热情地鼓励了我，由于在做学问这件事上，我没“等米下锅”，而是“找米下锅”。根据他的看法，这是一个研究生“应尽的义务”。

师者传道

对于博士生如何做研究，李天岩教授我们的求学历程就是最好示范。他三十岁前的三大学术贡献为：八页短文《周期三意味着混沌》初次在数学上给出“混沌”定义的精确概念；率先计算性架构布劳威尔不动点，是现代同伦延拓法的开山之作；历史初次证明了计算遍历理论中的乌拉姆猜想。其中最有名的第一项工作，是他与博士论文导师约克（James Yorke，1941-）合作研究的结晶，迄今被引用超越五千九百次。这在引用次数常见大大低于实验科学和工程范围的数学论文群体中，是排名前列的。第二篇论文的作者，除约克外又加了凯洛格（Bruce Kellogg，1930-2012）。他单独完成的第三项成就，则提供了我博士论文的想法源泉。

大家先回顾一下，他是如何“走运”地写出了天下第一篇用现代同伦延拓法计算布劳威尔不动点的文章。这个以荷兰数学家命名的拓扑学大定理，在最简单的一维情形，就是初等微积分中的介值定理，其几何性质每人都懂：连接一条直线两侧之点的任意连续曲线必与直线相交。布劳威尔不动点定理在二维的情形就是：闭圆盘上任意一个连续自映射（即值域包括于概念域）必有不动点，即该点被映到自己。李天岩1968年毕业于台湾新竹清华大学，当兵一年后，去了美国马里兰大学习数学系读博，师从约克教授。毕业前一年的1973年，他修了凯洛格教授的课《非线性方程组数值解》。课中，教授讲述了加州大学伯克利分校数学系赫希（Morris Hirsch，1933-）教授十年前发表的布劳威尔不动点定理新证明。

这个简洁反证法的思路是：假设不动点没有，则致使与拓扑学某定理相矛盾。这后肯定理是说，没有将闭圆盘映到其圆周围界的光滑映射，使得圆周上的所有点维持不动。这类拓扑学上有趣的深刻定理，可以讲解为何人头顶上有处不长头发的旋窝。李天岩听到这样新颖的证明，喜欢考虑的他顿生一计：可用该思路计算定理保证存在的不动点。由于闭圆盘是个二维地区，而圆周只是一维曲线，对于赫希考虑的将圆盘映到圆周的映射，概念域比值域多了一维，故存在“逆像”曲线，它起始于圆周上一点而终止于原先映射的不动点集合。只须能在数值上跟随这条“同伦曲线”，不动点就能算出来。主动而独立的思维，牵引出这么奇妙的新算法！创造性的思想，是那些靠死记硬背概念、定理、证明的念书者很难想象的奇迹。但对喜欢追根求源、探寻原始思想的探索者，这却是最自然的水到渠成。

当李天岩告诉了约克他的想法后，后者全力支持他干下去，尽管他手中还有其他研究项目，眼光深远的导师了解该课题的价值。经过两个月编程计算，李天岩的算法思想终于达成——薄薄的一页打印纸，记录了历史上第一个现代同伦算法的数值结果。将在克莱姆森大学召开的不动点算法及其应用会议的筹委会，一听说他们用微分拓扑思想架构了新的同伦不动点算法，而不是沿着耶鲁大学经济学教授斯卡夫（Herbert Scarf，1930-2015） 1967年开辟的基于单纯剖分和组合方法的单纯不动点算法的路线走，立刻提供了两张机票，邀请他们赴会宣读论文。后来，斯卡夫在会议论文集序言中，对凯洛格-李-约克文章的新思路赞不绝口。从此，现代同伦延拓法进入了计算数学的大舞台。

“凭借一股牛劲”

如前所述，李天岩教授学术生涯中三项最著名的杰出工作，都完成于他的博士生阶段。其中第三篇关于“乌拉姆猜想”的论文由他独立完成，1976年发表于美国《逼近论杂志》（Journal of Approximation Theory）。这篇文章是怎么样诞生的呢？1973年，约克与其合作者、波兰科学院院士洛速达（Andrzej Lasota，1932-2006）在期刊《美国数掌握汇刊》（Transactions of the American Mathematical Society）上发表了一篇现已成为遍历理论经典文献的论文，其中证明了一个关于绝对连续不变测度的存在性定理。它断言，概念在区间上的一类逐片拉长自映射，存在一个“不变密度函数”。密度函数是常在概率论里露面的数学对象，它是取值为非负数的函数，并且总体积分为1。即坐落于它的图像之下、区间之上的“曲边矩形”面积等于1。不变密度函数的存在性保证后，李天岩开始考虑如何把它计算出来。或言之，如何在数值上有效地逼近它。他提出了一个用逐片常数函数的逼近法，并对洛速达和约克考虑的那类区间映射，证明了算法的收敛性。顾名思义，逐片常数函数在剖分概念域区间的那些子区间上分别取常数值。

但李天岩却全然不知，美国氢弹之父、波兰裔杰出数学家乌拉姆（Stanislaw Ulam，1909-1984），在他1960年出版的一本篇幅只有一百五十页的小书《数学问题集》（A Collection of Mathematical Problems）中，已经提出这个办法，用来计算不变密度函数。文章写好后，李天岩才听说这就是十几年前已有些乌拉姆办法。并且乌拉姆在书中猜测，只须不变密度函数存在，算法就收敛。“乌拉姆猜想”催生了在物理及工程中有要紧应用价值的“计算遍历理论”学科问世。李天岩文章与乌拉姆办法的“历史性巧合”，也致使文章题目改动，加上了“乌拉姆猜想的一个解答”。这篇计算遍历理论范围的里程碑之作最后是《弗罗贝尼乌斯-佩隆算子的有限逼近——乌拉姆猜想的一个解答》。

多年后，李天岩教授对我回忆他这篇大作的出炉经过，十分感慨地说道：“假如我当时事先了解，这个算法的收敛性，连和冯·诺伊曼一个级别的数学家乌拉姆也未给出证明的话，可能不大敢啃这块骨头。”但，年轻时的李天岩，是个“初生牛犊不怕虎”的猛士。根据我们的说法，他“凭借一股牛劲，任何事坚持到底，绝不随便舍弃。”他觉得，大人物解决不了的问题，并不可以说明小人物也解决不了，大人物考虑问题的渠道也可能不是解决问题的唯一渠道。在学问的道路上，只须有独立的精神、自由的思想，只须比其他人多花了一分钟考虑，就可以将看上去困难的问题搞个水落石出。

1987年初夏前，我在通过两门外语（英文和中文都不算外语）考试后，一边继续修课，一边积极跟上一个崭新范围——线性规划内点算法。它与我在南大读硕士的最佳化方向有关，起始于印度人卡玛卡（Narendra Karmarkar，1956-）于1984年发表的一篇开创性论文。这个范围当时在国际优化界已开始热浪滚滚，跟进的研究者趋之若鹜。很多人甚至预测卡玛卡在上世纪结束前将会获得诺贝尔经济学奖，就像最早提出线性规划有效计算办法的苏联数学家康托诺维奇（Leonid Kantorovich，1912-1986）当年那样。不过这个预测没变成现实。李教授考虑到我的老本行是数学规划，建议我跟上内点算法飞速发展的节奏。他的一些素有学术往来的朋友，如日本最佳化理论著名学者小岛政和（Masakazo Kojima，1944-）教授，常寄来这方面的文章预印本。斯坦福大学运筹学博士叶荫宇等几个华人学者，也开始脱颖而出。我力图多知道这类最新的研究成就，慢慢挨近学术前沿，并完成了几篇关于线性相补问题内点算法的文章。其中与导师合作的第一篇，有幸在1991年发表于美国工业与应用数掌握那年新办的《SIAM最佳化杂志》（SIAM Journal on Optimization）创刊号上。我曾计划将这类内容整理成我的博士论文，但后来的结局却是始料未及的。

西海岸之旅

1989年3月，我三岁女儿跟着她奶奶来到美国。这是大家父女初次相会，尽管她在底特律机场见到我时用一口纯正扬州话对我说：“我在照片上见过父亲的”。那年6月初春学季刚完，本学年告一段落，李教授开讲的三学季课程《[0, 1]上的遍历理论》也圆满落下帷幕。虽然那时他的主要兴趣已不在混沌和遍历理论，而是在矩阵特点值及多元多项式方程组同伦求解，但大家这类弟子增长了见识、开阔了眼界，对他直到八十年代中期的研究成就，有了比较明确的认知。确实，假如对导师过去的工作都一无所知，那还成什么学生？要想成为好学生，不光要理解导师现在的工作，也需要了解导师过去干了些什么，不然可被叫做一个跛足的弟子。这和如何对待科学史道理相同。伟大的全能数学家庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）告诫过大家：“假如大家想要预见数学的以后，适合的渠道是研究这门科学的历史和近况。”这句话被数学史名著《古今数学思想》的作者克莱因（Morris Kline，1908-1992）放在了序言的最前面。知道历史和认识近况同样要紧，由于历史是一面镜子。德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1962-1943）最棒的弟子外尔（Hermann Weyl，1885-1955），过去提到自己“喜欢讲授数学史”，说得很有道理。

趁我去北加州开会之机，大家全家计划在6月份游览一次美洲国内西海岸，这是我来美后第一回长途旅游。

从密歇根州到旧金山市的那个月，大家全家在沿途不少地方留下了足迹。我和很多南大老同学、老熟人第三相聚。在旅途的第一站伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校，我与大学同窗胡著信不期而遇，整晚聊天；还和与我同机赴美读博士的南大化学系七八级学生李巧英重逢。然后我家老小去了堪萨斯城，得到了韩国师兄李弘九一家的热情招待，李弘九在密苏里大学堪萨斯分校任教。抵达摩门教大本营盐湖城后，在犹他大学读博士的尹光炎同学开车带大家一睹盐湖风光。现在他和我昔日同窗中的另两名“江苏高考考试状元”，已开始饱览“夕阳无限好”的退休景色。

到了旧金山湾区，我见到了已在斯坦福大学统计系获得博士学位的张砚凝同学。出生于北京、大学成绩出色并且热爱长跑的他，当年考上中国科学院计算中心研究生并留洋深造。我来美念书后收到的第一封在美老同学来信，就是他热情洋溢的“欢迎明信片”，他也在第二封信中对我给新生女孩起名字“易之”大加赞赏：“不愧了你的文学功底”。后来，事业有成的张砚凝，长跑热情没降温，参加过好几次马拉松，包含著名的波士顿国际马拉松比赛。

我也与南大七八级的数学才子戴建岗第三相会。他正在斯坦福大学习数学系写作博士论文（他现任康奈尔大学运筹学与信息工程学院讲坛教授，同时任职香港中文大学（深圳）数据科学学院院长）。之前的3月初，他专门去了旧金山国际机场替我接机，将我妈妈和女儿送到飞往底特律的登机口。大家在漂亮的斯坦福校园漫步，游览这所世界名校。家母在校园中央的著名大教堂前留了影。这是斯坦福夫人为纪念1885年与她一同创建学校的铁路大王老公而打造的。四分之一世纪后的2013年感恩节前，我去看望已在那里工作的女儿。在万里无云的蓝天下，大家两人在这座漂亮教堂前留下合照，让八十五岁高龄的家母第三目睹壮观的斯坦福建筑。

书稿中的闪光

在旅途动身前，李天岩教授问我是不是感兴趣，依据他刚结束课程的现成讲稿，帮他补完成一本中文书初稿。台湾某个学术基金会期望他出版此书。去年他在日本碰到美国普渡大学习数学系莫宗坚（1940-）教授，二人商榷了此事，这也是他开这门课的初衷之一。李教授承诺从国家科学基金会奖给他的夏天研究资助中，拨出一份给我，如此我就能集中精力写书，而不必分心于教书工作。我当然想啦，这不光是巩固已学常识的非常好机会，更给我将来学术写作提供了一个练兵场合。

回到密歇根后，我非常快进入状况，开始起草导师交代的书稿。该书的基本框架已具雏形，仅需添加作为预备常识的基础部分，并统一书面表达和语言符号。我马不停蹄地伏案工作了两个月。这也是我重新梳理常识、训练学术写作的过程，给我日后自己写书提供了非常好的练笔机会。更要紧的是，在写作关于绝对连续不变测度计算的乌拉姆办法那一章的某个瞬间，我无意中灵光一闪，为一项新研究创造了契机。

李教授计划出版的这本中文著作，主要讲的是在遍历理论中有广泛应用的一类正算子——弗罗贝尼乌斯-佩隆算子，它是把非负函数映成非负函数的线性算子，并维持积分不变，前一个性质就是“正算子”的概念。算子的名字借用了两个德国数学家名字，事实上与他们风马牛不相及。只不过由于这个无穷维算子继承了非负矩阵的若干好性质，并因为先是1907年的佩隆（Oskar Perron，1880-1975）、然后是1912年的弗罗贝尼乌斯，打造了非负矩阵的一般理论，以至于乌拉姆在《数学问题集》中把他们的名字借了过来，给该算子命名。这种“张冠李戴”的现象，在数学史中并不鲜见，譬如解非线性方程组的牛顿法并不是由牛顿正式提出，他只不过用它逼近了一个多项式方程的根。牛顿法收敛性理论的系统研究，归功于二十世纪俄罗斯数学家康拓诺维奇。微积分中求不定型极限的洛必达法则，更是个“欺世盗名”的结果。被洛必达（Guillaume de l'Hôpital，1661-1704）放在他1696年书中的这个法则，事实上由瑞士数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748）发现。不变密度函数是弗罗贝尼乌斯-佩隆算子的不动点。李教授书稿的前面几章，讲的都是算子不动点的存在性定理和性质，最后一章才涉及它们的计算，标题为“弗罗贝尼乌斯-佩隆算子的有限逼近”，内容为乌拉姆办法与李天岩关于乌拉姆猜想、对于洛速达-约克区间映射族收敛性的漂亮证明。

当我快要写完这章，整个书稿就要大功告成之时，脑袋里忽然冒出一个疑问。从计算数学角度看，用逐片常数函数逼近一般函数是最简单粗糙的做法。为何不可以使用逐片线性甚至逐片二次函数来逼近呢？知识告诉大家，如用水平线来近似悬链线，精度远低于用连接曲线上两点的线段逼近它。于是我好奇心大盛，立刻拿起纸笔，画图演算起来。三十多年来，我一直致力于计算遍历理论的研究，而这趟千里之行，就从此处开始。它与我之前的内点算法研究毫不相干，分属相距十万八千里的两个天地。因为我既在美国学会了纯数学分支遍历理论的入门知识，又早有南大老本行计算数学专业打下的好基础，我的思路比较明确，进展也相当顺利。我注意到乌拉姆办法既是保正性、保积分的一种保结构算法，又是传统的投影算法范畴。于是我就沿着这两个方向来推广它。非常快，我就架构出两类基于逐片线性或逐片二次多项式的新算法。第一类依靠于迦辽金投影原理，另一类因用了有限维的马尔科夫算子而保结构，我将之命名为马尔科夫有限逼近法。以俄罗斯数学家名字冠名的马尔科夫算子，比弗罗贝尼乌斯-佩隆算子范围更广，它概念为维持非负函数积分不变的正算子。对于乌拉姆办法能收敛的洛速达-约克类区间映射，我证明了新算法的收敛性。为证实高阶数值办法收敛更快，我用系里的太阳-工作站电脑（指计算机公司Sun Microsystems推出的工作站——编者注），输入自己编制的Fortran程序，进行计算比较。数值试验结果显示它们比乌拉姆办法收敛快得多，差距之大就像吕布的赤兔马同吕布本人赛跑。后来，两位华人教授从理论上研究了逐片线性马尔科夫有限逼近法的收敛速率，加上我和李教授于1998年发表的后续文章，最后打造了此类算法的收敛速率理论和误差估计。

1989年8月底，我完成了李天岩教授中文专著的初稿。作为副商品，也拿出两篇研究文章。连我也感惊奇的是，这本书我连草稿都没打，每章每节基本上是依据李教讲课程讲义的概述，先在腹中酝酿一番，然后一气呵成地写下，这大大节省了写作时间。在两个月内，我不只起草了一本中文书，还做了一些有意义的研究。当我把书稿交给导师，并献上了论文初稿时，他先是惊讶，看完后感觉认可。从此，我再也没过问那本书稿的命。遗憾的是，李天岩教授一直忙于多项式方程组数值解方面的宏伟研究计划，基本上已离开混沌动力系统和遍历理论这个早年让他扬名天下的范围，因而从未有暇修改完成这本著作，殊为可惜。而我则相反，从导师课程中学习遍历理论培养出的兴趣，加上这段写作、研究的独特历程，让我离开了内点算法，投身于计算遍历理论，多年来乐此不倦，并与中国科学院计算数学与科学工程计算研究所的周爱辉博士合作，在2006年通过清华大学出版社出版了研究生中文教程《确定性系统的统计性质》。它对应的英文版则在2008年底由该出版社和德国的施普林格出版社联合出版。

毕业和工作

大概在1989年10月的某天上午，李天岩教授来到我的教学助理办公室，亲切地对我说：“你可以考虑明年毕业，就把最新的这两篇文章整理成你的博士论文吧。”我心存感激，赞同他的安排。大家这一批直接从国内招来的博士生，除我是1986年1月来美，其余的几个都是国内名校七七级（“77级”是恢复高考考试后的首届大学生——编者注）的，分别毕业于吉林大学、武汉大学、厦门大学等，加上一个从美国私立名校西北大学投奔他来，由访问学者身份摇身一变的博士研究生，都是1986年8月进校的。非常自然我可以比他们早点毕业。上一年，我来自北师大七七级的师姐已经博士毕业，找到了大学教职，就在李教授布劳威尔不动点计算论文开始名扬天下的所在地——克莱姆森大学习数学系担任助理教授。那时，美国的经济还比较强劲，大学教书的新地方也不少。

找工作的难易度，和经济形势甚至社会环境的好坏线性有关。1957年，苏联的卫星上了天，把美国吓了一大跳，以为我们的科技水平落到他们后头去了。高层领导一声号令，美国的大学立刻开始膨胀，致使六十年代的新科博士俏得非常，个个都能谋到一份大学教书的好差事。结果是，他们当中的一部分，因为先天不足或后天懈怠，在角逐激烈的学术环境中败下阵来，待遇每况愈下，特别在研究型大学。密歇根州立大学的教授中也有如此的人，在老教授中的比率不算太低。我记得有一次，导师远远指着一名学术地位不太高的教授的办公室，对弟子开玩笑说：当我还在高中念书的时候，他就是教授了，但他目前的薪水差不多只不过我的一半。当李教授1974年拿到博士学位时，美国博士的好日子已经过去，不少人找不到饭碗。他能幸运地谋到一份大学教职，而很多像他如此的中国台湾博士只好打道回府。不过后来不少人因为台湾经济腾飞而赚了大钱。他又告诉过大家，他的第一个博士研究生、来自台湾的朱天照，1982年拿到学位时，状况又一次倒转，校园应聘机会多得应接不暇。最后朱博士选择了北卡罗来纳州立大学。他的研究表现十分出色，六年后就破格荣升到正教授了。

然而没想到的是，我1990年毕业，正巧赶上美国大学教职行情最严峻的新一轮周期！好在我找到了正式助理教授地方，但那是后话了。

写于2024年3月24日星期日

美国哈蒂斯堡夏日山庄

注：本文依据2016年由商务印书馆出版的《亲历美国教育：三十年的体验与考虑》第六章《博士论文》修改而成。

致谢：感谢朱慧坚博士提出两处修改建议，增加了叙述的准确性。

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出品：中国科协科普部

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Tags：数学